Drehbewegungen

Mechanik, pp. 277–336

Abstract

Wir wollen den Drehimpuls zunächst mathematisch einführen: Wir betrachten einen Massenpunkt (Abb. 13.1). Seine Bewegung ist gegeben durch: 13.1 $$\vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d\vec{p}}{dt}\,.$$ Wir multiplizieren (Vektorprodukt) von links mit dem Ortsvektor und erhalten das Drehmoment: 13.2 $$\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}\,.$$ Eine kurze Zwischenrechnung zeigt, dass sich die rechte Seite vereinfachen lässt: 13.3 $$\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})=\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}+\vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}\,.$$ Der erste Summand verschwindet aber, da 13.4 $$\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}=\vec{v}\times m\vec{v}=m(\vec{v}\times\vec{v})=0\,.$$ Also ist 13.5 $$\vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})\,.$$ Damit erhalten wir 13.6 $$\vec{M}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})\,.$$ Für Drehbewegungen stellt dieser Ausdruck das Äquivalent zu Newtons zweitem Axiom für lineare Bewegungen dar. Man nennt ihn auch den Drallsatz. Wie Sie gesehen haben, haben wir Gl. 13.1 aus diesem Axiom abgeleitet. Es ist also kein neues Axiom. Um die Äquivalenz noch deutlicher zu machen, führen wir eine neue Größe ein. Wir nennen $$\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$$ den Drehimpuls und damit ist 13.7 $$\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}\,.$$ Diese Gleichung wurde erstmals 1754 von Leonard Euler aufgestellt. Sie heißt daher auch Euler’scher Drehimpulssatz.

Authors 2

1. Stefan Roth Aachen

   RWTH Aachen University

   Affiliation as printed

   RWTH Aachen, Aachen, Deutschland

2. A. Stahl corresponding Aachen

   RWTH Aachen University

   Affiliation as printed

   RWTH Aachen, Aachen, Deutschland